LIMITES

El límite de la función f(x) en el punto x0, es el valor al que se acercan las imágenes
(las y) cuando los originales (las x) se acercan al valor x0. Es decir el valor al que tienden
las imágenes cuando los originales tienden a x0.




Vamos a estudiar el límite de la función f(x) = x
2
en el punto x0 = 2.
x f(x)
1,9 3,61
1,99 3,9601
1,999 3,996001
... ...
↓ ↓
2 4
x f(x)
2,1 4.41
2,01 4,0401
2,001 4,004001
... ...
↓ ↓
2 4
Tanto si nos acercamos a 2 por la izquierda (valores menores que 2) o la derecha
(valores mayores que 2) las imágenes se acercan a 4.
Se dice que el límite cuando x tiende a 2 de la función f(x) = x
2
es 4



Def. de límite de una función en un punto
Se dice que la función f(x) tiene como límite el número  L, cuando  x tiende a  x0, si
fijado un número real positivo ε , mayor que cero, existe un numero positivo δ dependiente
de ε , tal que, para todos los valores de x distintos de x0 que cumplen la condición |x - x0| <
δ , se cumple que |f(x) - L| <ε .

También podemos definir el concepto de límite a través de entornos:
si y sólo si, para cualquier entorno de L que tomemos, por pequeño que
sea su radio, existe un entorno de x0 , Eδ(x0) , cuyos elementos (sin contar x0), tienen sus
imágenes dentro del entorno de L , Eε(L).

CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN

f(x)=x2

Intuitivamente, la continuidad significa que un pequeño cambio en la variable x implica sólo un pequeño cambio en el valor de f(x), es decir, la gráfica consiste de un sólo trozo de curva.

 

f(x)=sgn x

En contraste, una gráfica como la de la función f(x) = sgn x (signo de x) que consiste de pedazos de curva separados por un vacío en una abcisa exhibe allí una discontinuidad.

La continuidad de la función f(x) para un valor a significa que f(x) difiere arbitrariamente poco del valor f(a) cuando x está suficientemente cerca de a.

Expresemos esto en términos del concepto de límite...

Definición

Continuidad

Una función f(x) es continua en un punto a si limx->af(x) = f(a).

Nota: observar que debe existir f(a) y debe existir el limx->a f(x) y debe ser igual a f(a).

Ejemplos de discontinuidad

 

f(x)= 1/x2

Discontinua en x=0 (No existe f(0))

 

 

f(x) = x2 si x <= 2

        2x - 4 si x > 2 

Discontinua en x=2.

Si bien existe f(2), no existe limx->2f(x), pues limx->2-f(x)=4 y limx->2+f(x)=0

Sin embargo, si miramos la función para x próximos a 2 pero menores, e ignoramos los x mayores que 2, la función es continua en 2 "por la izquierda".

Definición

Continuidad por la izquierda

Una función f(x) es continua por la izquierda en el punto a si existe f(a) y limx->a-f(x) = f(a).

Definición

Continuidad por la derecha

Una función f(x) es continua por la derecha en el punto a si existe f(a) y limx->a+f(x) = f(a).

La función anterior es continua por la izquierda en x=2, pero no por la derecha.

Definición

Continuidad en un intervalo cerrado [a,b]

Una función f(x) es continua en un intervalo cerrado [a,b] si:

f es continua en a por la derecha

f es continua en b por la izquierda

f es continua en x, para todo x perteneciente al intervalo abierto (a,b)

Clasificación de discontinuidades

Evitable

Caso A:

No existe f(a) pero existe limx->af(x).

Ejemplo:

 

  f(x)= e-1/x2 + 2

No existe f(0) pues anula un denominador.

limx->0-f(x) = limx->0+f(x) = 2 o sea limx->0f(x)=2

Podemos extender la definición de la función, asignándole en el punto a el valor del límite, con lo cual la función se torna continua. Por ello este tipo de discontinuidad se denomina evitable.

Caso B:

Existe f(a) y existe limx->af(x)=b pero b≠f(a).

(Existe f(a) pero es distinto al valor del límite).

Ejemplo:

 

  f(x) = x2 si x≠2

        8 si x=2

f(2) = 8

limx->2 f(x) = 4

Asignándole a la función el valor 4 en x=2, se elimina la discontinuidad.

No evitable

1ª especie:

limx->a-f(x) ≠ limx->a+f(x).

(Los límites laterales son distintos).

Ejemplo:

 

  f(x) = x/(x - 2)

limx->2-f(x) = -inf

limx->2+f(x) = +inf

2ª especie:

No existe limx->a-f(x) o no existe limx->a+f(x).

(No existe por lo menos uno de los límites laterales).

Ejemplo:

 

            

f(x) = \|x2 - 4

En x=-2 y x=2 la función presenta discontinuidades no evitables de 2ª especie. No existe limx->-2+f(x) y no existe limx->2-f(x).

Operaciones con funciones continuas

Si f y g son funciones continuas en x=a, la suma, multiplicación y cociente de f y g (con g(a) ≠ 0) son funciones continuas en x=a.

H) f(x) es continua en x=a.

    g(x) es continua en x=a.

T) f(x) + g(x) es continua en x=a.

Demostración:

Por definición de continuidad,

existe f(a) y existe limx->af(x) = f(a)

existe g(a) y existe limx->ag(x) = g(a)

=> por teo. límite de la suma de funciones, el límite de una suma de funciones es igual a la suma de los límites de cada función, si éstos son finitos.

limx->a f(x) + g(x) = f(a) + g(a)

=> por def. de continuidad f(x) + g(x) es continua en x=a.

Análogamente se prueba la continuidad del producto y el cociente.

Teorema

Continuidad de la función compuesta

H) f es continua en x=a.

    g es continua en x=f(a).

T) g o f es continua en x=a.

Demostración:

Queremos demostrar que limx->a g[f(x)]=g[f(a)], o sea, por definición de límite, queremos probar que, dado ε>0 existe δ>0 tal que para todo x perteneciente al E*a,δ g[f(x)] perteneciente al Eg[f(a)],ε.

Por hipótesis g es continua en f(a) => por def. de continuidad limx->f(a) g(x)=g[f(a)] => por def. de límite, dado ε>0 existe δ>0 tal que...

para todo x perteneciente al E*f(a),δ g(x) pertenece al Eg[f(a)],ε   (1)

Por hipótesis f es continua en a => por def. de continuidad limx->af(x) = f(a), es decir que (por def. de límite) si tomamos el número δ de (1), existe α>0 tal que...

para todo x perteneciente al E*a,α f(x) pertenece al Ef(a),δ   (2)

De (1) y (2) se deduce que:

Dado ε>0 existe α>0 / para todo x perteneciente al E*a,α g[f(x)] pertenece al Eg[f(a)],ε.

 

 ejercicios