DERIVACIÓN DE FUNCIONES

Entiéndase la derivada como la pendiente de la recta tangente a la función en un punto
dado, lo anterior implica que la función debe existir en ese punto para poder trazar una
recta tangente en él.

DERIVACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Función	Derivada
sin(x)	cos(x)
cos(x)	− sin(x)
tan(x)	sec2(x)
cot(x)	− csc2(x)
sec(x)	sec(x)tan(x)
csc(x)	− csc(x)cot(x)

La derivación de las funciones trigonométricas es el proceso matemático de encontrar el ritmo al cual una función trigonométrica cambia respecto de la variable independiente; es decir, la derivada de la función. Las funciones trigonométricas más habituales son las funciones sin(x), cos(x) y tan(x). Por ejemplo, al derivar f(x) = sin(x), se está calculando la función f'(x) tal que da el ritmo de cambio del sin(x) en cada punto x.

Derivada de la función seno

A partir de la definición de la derivada de una función f(x):

Por tanto si f(x) = sin(x)

A partir de la identidad trigonométrica sin(A + B) = (sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B), se puede escribir

Agrupando los términos cos(x) y sin(x), la derivada pasa a ser

Reordenando los términos y el límite se obtiene

Ahora, como sin(x) y cos(x) no varían al variar h, se pueden sacar fuera del límite para obtener

El valor de los límites

Son 1 y 0 respectivamente. Por tanto, si f(x) = sin(x),

Derivada de la función coseno

Si f(x) = cos(x)

A partir de la identidad trigonométrica cos(A + B) = cos(A)cos(B) − sin(A)sin(B), se puede escribir

Operando se obtiene

Como sin(x) y cos(x) no varían al variar h, se pueden sacar fuera del límite para obtener

El valor de los límites

Son 1 y 0 respectivamente. Por tanto, si f(x) = cos(x),

Derivada de la función tangente.

A partir de la regla del cociente, según la cual si la función que se quiere derivar, f(x), se puede escribir como

y h(x) ≠ 0, entonces la regla dice que la derivada de g(x) / h(x) es igual a:

A partir de la identidad trigonométrica

haciendo

g(x) = sin(x) g'(x) = cos(x)

h(x) = cos(x) h'(x) = − sin(x)

sustituyendo resulta

f'(x) = sec²(x)

Derivada de la función logarítmica

La derivada de un logaritmo en base a es igual a la derivada de la función dividida por la función, y por el logaritmo en base a de e.

Como , también se puede expresar así:

Derivada de un logaritmo neperiano

La derivada del logaritmo neperiano es igual a la derivada de la función dividida por la función.

Ejemplos

Derivación de Funciones Exponenciales

Sabemos que  e es un número irracional, pues e = 2.718281828... La notación e para este número fue dada por Leonhard Euler (1727). La función f(x) = ex   es una función exponencial natural. Como 2<e<3, la gráfica de f(x) = ex está entre f(x) = 2x y f(x) = 3x, como se ilustra a la izquierda.

 Como e > 1, la función f(x) = e^x es una función creciente. El dominio es el conjunto de los números reales y el recorrido es el conjunto de los números reales positivos.

Las calculadoras científicas contienen una tecla para la función f(x) = e^x. Geométricamente la pendiente de la gráfica de f(x) = e^x en cualquier punto (x,e^x) es igual a la coordenada y de ese punto.  Por ejemplo, en la gráfica de f(x) = e^x  en el punto (0,1) la pendiente es 1.

 Reglas para la derivación de funciones exponenciales:

Ejemplos para discusión: Halla la derivada de:

1) y = e ^{2x - 1}

3) y = x³e^x

Ejercicio de práctica: Deriva:

Ejercicios: Deriva cada una de las siguientes funciones:

1)    f(x) = e^2x

3)  

4)    g(x) = (e ^–x + e ^x)³

5)    y = x² e^-x

6)    y = x² e^x – 2x e^x + 2 e^x

7)    f(x) = 4^x

8)    g(x) = 5 ^{x – 2}

9)    h(x) = 2e ^{x + 1}

10)   f(x) = 4 ^{–x + !}