DERIVACIÓN DE FUNCIONES

Entiéndase la derivada como la pendiente de la recta tangente a la función en un punto
dado, lo anterior implica que la función debe existir en ese punto para poder trazar una
recta tangente en él.

DERIVACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Función	Derivada
sin(x)	cos(x)
cos(x)	− sin(x)
tan(x)	sec2(x)
cot(x)	− csc2(x)
sec(x)	sec(x)tan(x)
csc(x)	− csc(x)cot(x)

La derivación de las funciones trigonométricas es el proceso matemático de encontrar el ritmo al cual una función trigonométrica cambia respecto de la variable independiente; es decir, la derivada de la función. Las funciones trigonométricas más habituales son las funciones sin(x), cos(x) y tan(x). Por ejemplo, al derivar f(x) = sin(x), se está calculando la función f'(x) tal que da el ritmo de cambio del sin(x) en cada punto x.

Derivada de la función seno

A partir de la definición de la derivada de una función f(x):

Por tanto si f(x) = sin(x)

A partir de la identidad trigonométrica sin(A + B) = (sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B), se puede escribir

Agrupando los términos cos(x) y sin(x), la derivada pasa a ser

Reordenando los términos y el límite se obtiene

Ahora, como sin(x) y cos(x) no varían al variar h, se pueden sacar fuera del límite para obtener

El valor de los límites

Son 1 y 0 respectivamente. Por tanto, si f(x) = sin(x),

Derivada de la función coseno

Si f(x) = cos(x)

A partir de la identidad trigonométrica cos(A + B) = cos(A)cos(B) − sin(A)sin(B), se puede escribir

Operando se obtiene

Como sin(x) y cos(x) no varían al variar h, se pueden sacar fuera del límite para obtener

El valor de los límites

Son 1 y 0 respectivamente. Por tanto, si f(x) = cos(x),

Derivada de la función tangente.

A partir de la regla del cociente, según la cual si la función que se quiere derivar, f(x), se puede escribir como

y h(x) ≠ 0, entonces la regla dice que la derivada de g(x) / h(x) es igual a:

A partir de la identidad trigonométrica

haciendo

g(x) = sin(x) g'(x) = cos(x)

h(x) = cos(x) h'(x) = − sin(x)

sustituyendo resulta

f'(x) = sec²(x)

Derivada de la función logarítmica

La derivada de un logaritmo en base a es igual a la derivada de la función dividida por la función, y por el logaritmo en base a de e.

Como , también se puede expresar así:

Derivada de un logaritmo neperiano

La derivada del logaritmo neperiano es igual a la derivada de la función dividida por la función.

Ejemplos

Derivación de Funciones Exponenciales

Sabemos que  e es un número irracional, pues e = 2.718281828... La notación e para este número fue dada por Leonhard Euler (1727). La función f(x) = ex   es una función exponencial natural. Como 2<e<3, la gráfica de f(x) = ex está entre f(x) = 2x y f(x) = 3x, como se ilustra a la izquierda.

 Como e > 1, la función f(x) = e^x es una función creciente. El dominio es el conjunto de los números reales y el recorrido es el conjunto de los números reales positivos.

Las calculadoras científicas contienen una tecla para la función f(x) = e^x. Geométricamente la pendiente de la gráfica de f(x) = e^x en cualquier punto (x,e^x) es igual a la coordenada y de ese punto.  Por ejemplo, en la gráfica de f(x) = e^x  en el punto (0,1) la pendiente es 1.

 Reglas para la derivación de funciones exponenciales:

Ejemplos para discusión: Halla la derivada de:

1) y = e ^{2x - 1}

3) y = x³e^x

Ejercicio de práctica: Deriva:

Ejercicios: Deriva cada una de las siguientes funciones:

1)    f(x) = e^2x

3)  

4)    g(x) = (e ^–x + e ^x)³

5)    y = x² e^-x

6)    y = x² e^x – 2x e^x + 2 e^x

7)    f(x) = 4^x

8)    g(x) = 5 ^{x – 2}

9)    h(x) = 2e ^{x + 1}

10)   f(x) = 4 ^{–x + !}

DERIVADAS

RAZON DE CAMBIO

Comenzando por la Razón Instantánea de Cambio de una función cuya variable independiente es el tiempo t. suponiendo que Q es una cantidad que varía con respecto del tiempo t, escribiendo Q=f(t), siendo el valor de Q en el instante t. Por ejemplo

·        El tamaño de una población (peces, ratas, personas, bacterias,…)

·        La cantidad de dinero en una cuenta en un banco

·        El volumen de un globo mientras se infla

·        La distancia t recorrida en un viaje después del comienzo de un viaje

El cambio en Q desde el tiempo t hasta el tiempo t+"t, es el incremento

La Razón de Cambio Promedio de Q (por la unidad de tiempo) es, por definición, la razón de cambio "Q en Q con respecto del cambio "t en t, por lo que es el cociente

Definimos la razón de cambio instantánea de Q (por unidad de tiempo) como el límite de esta razón promedio cuando "t!0. Es decir, la razón de cambio instantánea de Q es

Lo cual simplemente es la derivada f´(t). Así vemos que la razón de cambio instantánea de Q=f(t) es la derivada

La interpretación intuitiva de la razón de cambio instantánea, pensamos que el punto P(t,f(t)) se mueve a lo largo de la gráfica de la función Q=f(t). Cuando Q cambia con el tiempo t, el punto P se mueve a lo largo da la curva. Pero si súbitamente, en el instante t, el punto P comienza a seguir una trayectoria recta, entonces la nueva trayectoria de Pcorresponde que Q cambia a una razón constante.

También como conclusión tenemos que si la pendiente de la recta tangente es positiva ésta es ascendente y si le pendiente es negativa ésta es descendente, así

La derivada de cualquier función, no solamente una función del tiempo, puede interpretarse como una razón de cambio instantánea con respecto de la variable independiente. Si y=f(x), entonces la razón de cambio promedio de y (por un cambio unitario en x) en el intervalo [x,x+"x] es el cociente

La razón de cambio instantánea de y con respecto de x es el límite, cuando "x!0, de la razón de cambio promedio. Así, la razón de cambio instantánea de y con respecto de x es

DERIVADAS SUCESIVAS 

Si derivamos la derivada de una función, derivada primera, obtenemos una nueva función que se llama derivada segunda, f''(x).

Si volvemos a derivar obtenemos la derivada tercera, f'''(x).

Si derivamos otra vez obtenemos la cuarta derivada f'^v y así sucesivamente.

LIMITES

El límite de la función f(x) en el punto x0, es el valor al que se acercan las imágenes
(las y) cuando los originales (las x) se acercan al valor x0. Es decir el valor al que tienden
las imágenes cuando los originales tienden a x0.




Vamos a estudiar el límite de la función f(x) = x
2
en el punto x0 = 2.
x f(x)
1,9 3,61
1,99 3,9601
1,999 3,996001
... ...
↓ ↓
2 4
x f(x)
2,1 4.41
2,01 4,0401
2,001 4,004001
... ...
↓ ↓
2 4
Tanto si nos acercamos a 2 por la izquierda (valores menores que 2) o la derecha
(valores mayores que 2) las imágenes se acercan a 4.
Se dice que el límite cuando x tiende a 2 de la función f(x) = x
2
es 4



Def. de límite de una función en un punto
Se dice que la función f(x) tiene como límite el número  L, cuando  x tiende a  x0, si
fijado un número real positivo ε , mayor que cero, existe un numero positivo δ dependiente
de ε , tal que, para todos los valores de x distintos de x0 que cumplen la condición |x - x0| <
δ , se cumple que |f(x) - L| <ε .

También podemos definir el concepto de límite a través de entornos:
si y sólo si, para cualquier entorno de L que tomemos, por pequeño que
sea su radio, existe un entorno de x0 , Eδ(x0) , cuyos elementos (sin contar x0), tienen sus
imágenes dentro del entorno de L , Eε(L).

CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN

f(x)=x2

Intuitivamente, la continuidad significa que un pequeño cambio en la variable x implica sólo un pequeño cambio en el valor de f(x), es decir, la gráfica consiste de un sólo trozo de curva.

 

f(x)=sgn x

En contraste, una gráfica como la de la función f(x) = sgn x (signo de x) que consiste de pedazos de curva separados por un vacío en una abcisa exhibe allí una discontinuidad.

La continuidad de la función f(x) para un valor a significa que f(x) difiere arbitrariamente poco del valor f(a) cuando x está suficientemente cerca de a.

Expresemos esto en términos del concepto de límite...

Definición

Continuidad

Una función f(x) es continua en un punto a si limx->af(x) = f(a).

Nota: observar que debe existir f(a) y debe existir el limx->a f(x) y debe ser igual a f(a).

Ejemplos de discontinuidad

 

f(x)= 1/x2

Discontinua en x=0 (No existe f(0))

 

 

f(x) = x2 si x <= 2

        2x - 4 si x > 2 

Discontinua en x=2.

Si bien existe f(2), no existe limx->2f(x), pues limx->2-f(x)=4 y limx->2+f(x)=0

Sin embargo, si miramos la función para x próximos a 2 pero menores, e ignoramos los x mayores que 2, la función es continua en 2 "por la izquierda".

Definición

Continuidad por la izquierda

Una función f(x) es continua por la izquierda en el punto a si existe f(a) y limx->a-f(x) = f(a).

Definición

Continuidad por la derecha

Una función f(x) es continua por la derecha en el punto a si existe f(a) y limx->a+f(x) = f(a).

La función anterior es continua por la izquierda en x=2, pero no por la derecha.

Definición

Continuidad en un intervalo cerrado [a,b]

Una función f(x) es continua en un intervalo cerrado [a,b] si:

f es continua en a por la derecha

f es continua en b por la izquierda

f es continua en x, para todo x perteneciente al intervalo abierto (a,b)

Clasificación de discontinuidades

Evitable

Caso A:

No existe f(a) pero existe limx->af(x).

Ejemplo:

 

  f(x)= e-1/x2 + 2

No existe f(0) pues anula un denominador.

limx->0-f(x) = limx->0+f(x) = 2 o sea limx->0f(x)=2

Podemos extender la definición de la función, asignándole en el punto a el valor del límite, con lo cual la función se torna continua. Por ello este tipo de discontinuidad se denomina evitable.

Caso B:

Existe f(a) y existe limx->af(x)=b pero b≠f(a).

(Existe f(a) pero es distinto al valor del límite).

Ejemplo:

 

  f(x) = x2 si x≠2

        8 si x=2

f(2) = 8

limx->2 f(x) = 4

Asignándole a la función el valor 4 en x=2, se elimina la discontinuidad.

No evitable

1ª especie:

limx->a-f(x) ≠ limx->a+f(x).

(Los límites laterales son distintos).

Ejemplo:

 

  f(x) = x/(x - 2)

limx->2-f(x) = -inf

limx->2+f(x) = +inf

2ª especie:

No existe limx->a-f(x) o no existe limx->a+f(x).

(No existe por lo menos uno de los límites laterales).

Ejemplo:

 

            

f(x) = \|x2 - 4

En x=-2 y x=2 la función presenta discontinuidades no evitables de 2ª especie. No existe limx->-2+f(x) y no existe limx->2-f(x).

Operaciones con funciones continuas

Si f y g son funciones continuas en x=a, la suma, multiplicación y cociente de f y g (con g(a) ≠ 0) son funciones continuas en x=a.

H) f(x) es continua en x=a.

    g(x) es continua en x=a.

T) f(x) + g(x) es continua en x=a.

Demostración:

Por definición de continuidad,

existe f(a) y existe limx->af(x) = f(a)

existe g(a) y existe limx->ag(x) = g(a)

=> por teo. límite de la suma de funciones, el límite de una suma de funciones es igual a la suma de los límites de cada función, si éstos son finitos.

limx->a f(x) + g(x) = f(a) + g(a)

=> por def. de continuidad f(x) + g(x) es continua en x=a.

Análogamente se prueba la continuidad del producto y el cociente.

Teorema

Continuidad de la función compuesta

H) f es continua en x=a.

    g es continua en x=f(a).

T) g o f es continua en x=a.

Demostración:

Queremos demostrar que limx->a g[f(x)]=g[f(a)], o sea, por definición de límite, queremos probar que, dado ε>0 existe δ>0 tal que para todo x perteneciente al E*a,δ g[f(x)] perteneciente al Eg[f(a)],ε.

Por hipótesis g es continua en f(a) => por def. de continuidad limx->f(a) g(x)=g[f(a)] => por def. de límite, dado ε>0 existe δ>0 tal que...

para todo x perteneciente al E*f(a),δ g(x) pertenece al Eg[f(a)],ε   (1)

Por hipótesis f es continua en a => por def. de continuidad limx->af(x) = f(a), es decir que (por def. de límite) si tomamos el número δ de (1), existe α>0 tal que...

para todo x perteneciente al E*a,α f(x) pertenece al Ef(a),δ   (2)

De (1) y (2) se deduce que:

Dado ε>0 existe α>0 / para todo x perteneciente al E*a,α g[f(x)] pertenece al Eg[f(a)],ε.

 

 ejercicios

FUNCIONES

Una función es una relación entre un conjunto dado x(llamado dominio) y otro de elementos y(llamado codo minio )de forma que cada elemento x del dominio le corresponde un único elementó(x) el codo minio ( los que forman el recorrido también llamado rango o habito 

Dominio y rango de una función

Como ya vimos, el dominio de una función es el conjunto de valores para los cuales la función está definida; es decir,  son todos los valores que puede tomar la variable independiente (la x).

Por ejemplo la función f(x) = 3x2 – 5x está definida para todo número real (x puede ser cualquier número real). Así el dominio de esta función es el conjunto de todos los números reales.

En cambio, la función   tiene como dominio todos los valores de x para los cuales −1< x < 2, porque aunque pueda tomar cualquier valor real diferente de –2, en su definición determina en qué intervalo está comprendida.

Si el dominio no se específica, debe entenderse que el dominio incluye a todos los números reales para los cuales la función tiene sentido.

En el caso de la función  , el dominio de esta función son todos los números reales mayores o iguales a –3, ya que  x + 3 debe ser mayor o igual que cero para que exista la raíz cuadrada.

Como resumen, para determinar el dominio de una función, debemos considerar lo siguiente:

Si la función tiene radicales de índice par, el dominio está conformado por todos los números reales para los cuales la cantidad subradical sea mayor o igual a cero.

Si la función es un polinomio; una  función  de  la  forma   f(x) = a0 + a1x + a2x2 +...+ anxn (donde a0, a1, a2,..., an son constantes y nun entero no negativo), el dominio está conformado por el conjunto de todos los números reales.

Si la función es racional; esto es, si es el cociente de dos polinomios, el dominio está conformado por todos los números reales para los cuales el denominador sea diferente de cero.

El rango (recorrido o ámbito) es el conjunto formado por todas las imágenes; es decir, es el conjunto conformado por todos los valores que puede tomar la variable dependiente; estos valores están determinados además, por el dominio de la función.

CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES 

Funciones algebraicas

En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación.

Las funciones algebraicas pueden ser:

Funciones explícitas

Si se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución.

f(x) = 5x − 2

Funciones implícitas

Si no se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución, sino que es preciso efectuar operaciones.

5x − y − 2 = 0

Funciones polinómicas

Son las funciones que vienen definidas por un polinomio.

f(x) = a0 + a1x + a2x² + a2x³ +··· + anxn

Su dominio es  , es decir, cualquier número real tiene imagen.

Funciones constantes

El criterio viene dado por un número real.

f(x)= k

La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas.

Funciones polinómica de primer grado

f(x) = mx +n

Su gráfica es una recta oblicua, que queda definida por dos puntos de la función.

Función afín.

Función lineal.

Función identidad.

Funciones cuadráticas

f(x) = ax² + bx +c

Son funciones polinómicas es de segundo grado, siendo su gráfica una parábola.

Funciones a trozos

Son funciones definidas por distintos criterios, según los intervalos que se consideren.

Funciones en valor absoluto.

Función parte entera de x.

Función mantisa.

Función signo.

Funciones racionales

El criterio viene dado por un cociente entre polinomios:

El dominio lo forman todos los números reales excepto los valores de x que anulan el denominador.

Funciones radicales

El criterio viene dado por la variable x bajo el signo radical.

El dominio de una función irracional de índice impar es R.

El dominio de una función irracional de índice par está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero.

Funciones trascendentes

La variable independiente figura como exponente, o como índice de la raíz, o se halla afectada del signo logaritmo o de cualquiera de los signos que emplea la trigonometría.

Función exponencial

Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia ax se llama función exponencial de base a y exponente x.

Funciones logarítmicas

La función logarítmica en base a es la función inversa de la exponencial en base a.

Funciones trigonométricas

Función seno

f(x) = sen x

Función coseno

f(x) = cos x

Función tangente

f(x) = tg x

Función cosecante

f(x) = cosec x

Función secante

f(x) = sec x

Función cotangente

f(x) = cotg x

Operaciones con funciones

Función Suma

Si f(x) y g(x) son dos funciones, entonces la función suma esta dada por

( f + g ) ( x ) = f (x) + g (x)

Ejemplo 1    Si f (x) = 2x + 1   y  h (x) = |x|  entonces:

    ( h + f )(x) = h (x) + f (x) = |x| + 2x + 1     

       ( h + f )(2) = h (2) + f (2) = |2| + 2 ( 2 ) + 1= 7

Función Diferencia

Si f(x) y g(x) son dos funciones, entonces la función diferencia esta dada por

( f - g ) ( x ) = f (x) - g (x)

Ejemplo 2      Si f (x) = 2x + 1,  g (x) = x²    entonces:

    ( f - g )( x ) = f (x) - g (x) = 2x + 1 - x² =  1 + 2x - x²

    ( f - g )(- 1) = f (- 1) - g (- 1) = 2 ( -1) + 1 - ( -1)² = -2 + 1 - 1 = - 2

Función Producto

Si f(x) y g(x) son dos funciones, entonces la función producto esta dada por

( f g ) ( x ) = f (x) g (x)

Ejemplo 3    Si  g (x) = x²   y  h (x) = x - 2  entonces:

    ( h • g )(x) = h (x) • g (x) =  ( x - 2 ) x² = x³ – 2x²

    ( h • g )(5) = h (5) • g (5) = ( 5 - 2 ) ( 5 )² = 3 (25) = 75

 Función Cociente

Si f(x) y g(x) son dos funciones, entonces la función cociente esta dada por

Ejemplo 4   Si f (x) = 2x + 1,  g (x) = x ²    entonces:

1.      

en el siguiente link podrás encontrar algunos ejercicios para poder complementar tu investigación suerte y vamos tu puedes
ejercicios